Анализ функции одной переменной в excel - Word и Excel - помощь в работе с программами

Автор: Пенский Владимир Константинович

Предмет: алгебра, информатика.

Тема урока: Построение и исследование графика функции в MS EXCEL.

Класс: 9.

Продолжительность: 45 минут.

Цель урока: применение электронных таблиц для построения графика и изучения основных свойств квадратичной функции.

Задачи урока:

Образовательные:

систематизация знаний о свойствах квадратичной функции;
закрепить умение строить графики квадратичной функции и по графику определять ее основные свойства;
закрепление умения работать с электронными таблицами.

Развивающие:

формирование умения сравнивать, обобщать изучаемые факты;
повышение уровня учебной мотивации с использованием компьютерных технологий, развитие логического мышления;
развитие умения грамотно излагать свои мысли, обосновывать свои действия.

Воспитательные:

развитие коммуникативных умений, формирование адекватной оценки собственной деятельности;
развитие чувства товарищества, взаимопомощи, деликатности, дисциплинированности.

Оборудование: компьютерный класс, мультимедийный проектор, экран.

Ход урока

1. Организационный момент.

2. Постановка цели урока.

Сегодня на уроке мы повторим свойства квадратичной функции и научимся строить соответствующие графики функций с помощью прикладного программного обеспечения компьютера и, используя полученный график, определим свойства этой функции.

3. Актуализация знаний. Фронтальный опрос.

Вспомним определение и основные свойства квадратичной функции. Для этого ответьте на вопросы.

Как называется функция вида у = aх²+ bx + c (а ≠ 0), где а, b, c – действительные числа?
Что является графиком квадратичной функции?
При каких значениях х квадратичная функция у = х²возрастает? убывает?
Как называются значения переменной х, при которых значение функции равно нулю.
При а 0 ветви параболы у = ах² направлены … .
Если а х у = ах² принимает …(положительные, отрицательные) значения.

3. Повторение изученного материала.

1. Обоснуйте, что областью определения функции у = aх²+ bx + c является множество всех действительных чисел.

2. Выясните, какие из следующих квадратичных функций являются: чётными; нечётными; не являются ни чётными, ни нечётными.

а) y = x²; б) y = 3 − 2x + x².

3. Найдите нули квадратичной функции:

а) y = 2x²+ x − 3; б) y = x² − 8x + 15.

4. Найдите координаты вершины параболы у = х²– 4х + 4.

5. Укажите наибольшее (наименьшее) значение функции:

а) y = x²; б) y = 3x² + 1.

4. Изложение нового материала.

Можно ли, не проводя аналитических рассуждений определить свойства квадратичной функции? Действительно, по графику квадратичной функции можно определить все ее основные свойства.

Как построить график квадратичной функции? На помощь приходят современные компьютерные технологии. Сегодня существует множество программ, которые позволяют строить графики различных функций. Одним из простейших способов построения графика (в нашем случае графика квадратичной функции) является использование электронных таблиц Microsoft Excel.

Вспомним, каким образом можно построить график функции в данной программе.

Построим, например, график квадратичной функции у = х²+ 2х – 3 и исследуем ее свойства.

1) Составим таблицу значений зависимости переменной у от х:

– в ячейку А1 введите заголовок столбца «х»;

– в ячейку А2 введите значение –5, а в ячейку А3 – –4,5;

– выделите содержимое ячеек А2 и А3, далее с помощью функции автозаполнения скопируйте до ячейки А18 (получим соответствующие значения х от –5 до 3);

– в ячейку В1 введите заголовок столбца у = х²+ 2х – 3;

– в ячейку В2 введите формулу = В1^2 + 2*B1 – 3;

– скопируйте формулу из ячейки В2 (используя функцию автозаполнения) до ячейки В19.

2) Построение графика с помощью мастера диаграмм:

– выделите подготовленные данные, начиная с заголовка В1:В18.

– вызовите мастер диаграмм (Вставка – график – график);

– при задании параметров название диаграммы оставить;

– нажмите «ОК» и график автоматически вставится.

3) Работа с графиком:

– вставьте названия осей (Макет – названия осей – название основной горизонтальной оси – название под осью; Макет – названия осей – название основной вертикальной оси – горизонтальное название) и перенесите (х справа от оси, у выше оси);

– щелчком мыши в готовой диаграмме по каждой из осей, вызовите контекстное меню и установите: «горизонтальная ось пересекает значение оси 0», «вертикальная ось пересекает в категории с номером 11»;

– добавьте сетку (Макет – сетка – вертикальные линии сетки по основной оси – основные линии сетки).

Задание. С помощью построенного графика квадратичной функции у = х²+ 2х – 3 определите:

а) четность-нечетность функции;

б) нули функции;

в) промежутки монотонности;

г) наибольшее и наименьшее значение функции.

5. Проверка усвоения нового материала.

Класс делится на две группы. Каждой группе предлагается решить определенное задание. После того как все обучающиеся в группе решили это задание, происходит взаимопроверка полученных решений.

1 группа.

1. Найдите координаты точек пересечения параболы у = х²+ х – 12 с осями координат.

2. Постройте график квадратичной функции y = −3x²в программе Microsoft Excel и определите по графику значения этой функции в точках x₁ = 5, x₂ = −3.

2 группа.

1. Найдите значения квадратичной функции y = −3x²в точках x₁ = 5, x₂ = −3.

2. Постройте график квадратичной функции у = х²+ х – 12 в программе Microsoft Excel и по графику определите координаты точек пересечения параболы с осями координат.

6. Подведение итогов.

Итак, мы повторили материал, касающийся свойств квадратичной функции, решали задачи.

Что нового вы узнали сегодня?

Довольны ли вы своей работой?

7. Домашнее задание.

Задайте аналитически квадратичную функцию, которая:

а) имеет два нуля −3 и 0;

б) имеет только один нуль −3;

в) не имеет нулей.

Однозначно ли можно выполнить задание во всех случаях?

Список использованной литературы:

Алгебра: учебник для 9 класса / Гельфман Э.Г., Демидова Л.Н., Терре А.И. и др. – М: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2013. – 272 с.
Семакин И.Г. Информатика и ИКТ: учебник для 9 класса / И.Г. Семакин, Л.А. Залогова, и др. – М: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2012. – 341 с.
Социальная сеть работников образования «Наша сеть». – Режим доступа: http://nsportal.ru/shkola/informatika-i-ikt/library/2013/11/02/integrirovannyy-urok-po-algebre-i-informatike

Источник

Белорусская
Государственная сельскохозяйственная
академия

кафедра информационных
технологий, Стрелков Г.В

Лабораторная работа № Тема: Исследование функции

Цель работысостоит в освоении
следующих приемов работы в среде

MS EXCEL.

Табулирование аналитически заданной
функции.
Построение графика типа Точечная
(подтип «С выравниваем»).
Условное форматирование.
Использование встроенного сервиса
Подбор параметра.
Применение надстройки Поиск решения.

При изучении ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Вам
приходилось решать подобную задачу.
Часто это для Вас было сделать весьма
не просто. Почему? Не огорчайтесь, не
только Вы, но и многие гораздо более
продвинутые специалисты в разных
областях знаний не в состоянии провести
подобный анализ. Причины – да они могут
быть разные: или функция сложная и
простые приемы исследования решения
функции или не пригодны, или о них не
знает или даже не подозревает конкретный
человек (личность), , или …и т.п.

Но, поймите, что абсолютная точность
для реального применения результата
вычислений зачастую не нужна.

Задолго до создания ЭВМ были разработаны
методы нахождения приблизительного
решения не решаемых аналитически задач
– численные методы. Приблизительного,
но с необходимой степенью точности,
которая зависит от выполняемых для
достижения требуемого результата объема
вычислений. Трудность достижения
требуемой точности была существенна
при «ручном» методе вычислений. Сейчас
эта далеко прежде не простая задача
может быть поручена компьютеру. И точно
так же, как Вы не затрудняете себя
изучением таблицы умножения (а зачем,
ведь есть калькулятор), в реальной жизни
теперь многие задачи решают не
аналитически, а применяют численные
методы нахождения приблизительного
результата. МЫ поступим подобным образом
и для решения нашей эадачи.

Обоснование метода

Из курса ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ Вы должны
знать, что (при соблюдениии определенных
условий) если функция F(x)
меняет знак (значение с + на – или на
оборот с – на +), то на данном отрезке
имеется хотя бы одно решение уравненияF(x)=0

Если первая производная меняет знак,
то на данном отрезке наличествует
экстремум функции F(x),
если с + на – , то максимум, иначе –
минимум.

Если вторая производная меняет знак,
то на данном отрезке присутствует точка
перегиба (выпуклая становится вогнутой
или наоборот) функции F(x)

Почитай, если хочешь.

В практике довольно
часто встречаются задачи, приводящие
к необходимости решения алгебраических
и трансцендентных уравнений.

Известно, что
уравнение f(x)=0
является
алгебраическим,
если функция f(x)
представляет
собой алгебраический многочлен порядка
n.
Уравнение имеет n
корней,
которые могут быть действительными и
(или) комплексными. Поскольку в электронной
таблице Excel
не предусмотрено применение арифметики
комплексных корней мы будем отыскивать
лишь действительные корни таких
уравнений.

Трансцендентные
уравнения,
в отличие от алгебраических, не позволяют
столь однозначно судить о количестве
своих действительных корней. (Заметим
попутно, что транцендентным будем
называть уравнение, содержащее
тригонометрические и другие специальные
функции).

Для решения уравнений
требуется знание довольно узкого
интервала (а, b)
на оси OX
, содержащего
корень уравнения. К сожалению, четких
рекомендаций по выбору таких интервалов
не существует, и в этом случае не последнюю
роль играет интуиция и опыт исследователя.
Если функция f(x)
достаточно проста, то уравнение может
быть решено аналитически. Это имеет
место, например, в случаях f(x)=ах+b,
f(x)=ах²+bx+c
и некоторых
других. Если нет аналитических методов
решения уравнения, то используют
численные методы.

Уравнение f(x)=0 может
иметь не один корень. В связи с этим
задачу отыскания корней в численных
методах обычно делят на две:

1.Отделение корней;
2.Уточнение корней.

.Говорят, что корень
отделён, если указан промежуток, внутри
которого находится только один корень.
Из курса анализа известна теорема
Вейерштрасса: Если функция F(x) непрерывна
на отрезке [a;b] и на концах его имеет
значения разных знаков, т.е. F(a)*F(b)<0, то
внутри промежутка найдётся хотя бы одна
точка с, в которой F(c)=0. Иными словами, в
промежутке [a;b] содержится хотя бы один
корень уравнения F(x)=0.

В отдельных случаях
для гарантии правильности результата
надо провести полное исследование
функции (интервалы монотонности,
стационарные точки и т.д.).

Соседние файлы в папке лабы

Источник

Содержание

1 Выполнение аппроксимации
- 1.1 Способ 1: линейное сглаживание
- 1.2 Способ 2: экспоненциальная аппроксимация
- 1.3 Способ 3: логарифмическое сглаживание
- 1.4 Способ 4: полиномиальное сглаживание
- 1.5 Способ 5: степенное сглаживание
- 1.6 Помогла ли вам эта статья?
2 Аппроксимация в Excel статистических данных аналитической функцией.
3 Итоги.
4 P.S. (04.06.2017)
5 Высокоточная красивая замена табличных данных простым уравнением.

Среди различных методов прогнозирования нельзя не выделить аппроксимацию. С её помощью можно производить приблизительные подсчеты и вычислять планируемые показатели, путем замены исходных объектов на более простые. В Экселе тоже существует возможность использования данного метода для прогнозирования и анализа. Давайте рассмотрим, как этот метод можно применить в указанной программе встроенными инструментами.

Выполнение аппроксимации

Наименование данного метода происходит от латинского слова proxima – «ближайшая» Именно приближение путем упрощения и сглаживания известных показателей, выстраивание их в тенденцию и является его основой. Но данный метод можно использовать не только для прогнозирования, но и для исследования уже имеющихся результатов. Ведь аппроксимация является, по сути, упрощением исходных данных, а упрощенный вариант исследовать легче.

Главный инструмент, с помощью которого проводится сглаживания в Excel – это построение линии тренда. Суть состоит в том, что на основе уже имеющихся показателей достраивается график функции на будущие периоды. Основное предназначение линии тренда, как не трудно догадаться, это составление прогнозов или выявление общей тенденции.

Но она может быть построена с применением одного из пяти видов аппроксимации:

Линейной;
Экспоненциальной;
Логарифмической;
Полиномиальной;
Степенной.

Рассмотрим каждый из вариантов более подробно в отдельности.

Урок: Как построить линию тренда в Excel

Способ 1: линейное сглаживание

Прежде всего, давайте рассмотрим самый простой вариант аппроксимации, а именно с помощью линейной функции. На нем мы остановимся подробнее всего, так как изложим общие моменты характерные и для других способов, а именно построение графика и некоторые другие нюансы, на которых при рассмотрении последующих вариантов уже останавливаться не будем.

Прежде всего, построим график, на основании которого будем проводить процедуру сглаживания. Для построения графика возьмем таблицу, в которой помесячно указана себестоимость единицы продукции, производимой предприятием, и соответствующая прибыль в данном периоде. Графическая функция, которую мы построим, будет отображать зависимость увеличения прибыли от уменьшения себестоимости продукции.

Для построения графика, прежде всего, выделяем столбцы «Себестоимость единицы продукции» и «Прибыль». После этого перемещаемся во вкладку «Вставка». Далее на ленте в блоке инструментов «Диаграммы» щелкаем по кнопке «Точечная». В открывшемся списке выбираем наименование «Точечная с гладкими кривыми и маркерами». Именно данный вид диаграмм наиболее подходит для работы с линией тренда, а значит, и для применения метода аппроксимации в Excel.
График построен.
Для добавления линии тренда выделяем его кликом правой кнопки мыши. Появляется контекстное меню. Выбираем в нем пункт «Добавить линию тренда…».

Существует ещё один вариант её добавления. В дополнительной группе вкладок на ленте «Работа с диаграммами» перемещаемся во вкладку «Макет». Далее в блоке инструментов «Анализ» щелкаем по кнопке «Линия тренда». Открывается список. Так как нам нужно применить линейную аппроксимацию, то из представленных позиций выбираем «Линейное приближение».
Если же вы выбрали все-таки первый вариант действий с добавлением через контекстное меню, то откроется окно формата.
В блоке параметров «Построение линии тренда (аппроксимация и сглаживание)» устанавливаем переключатель в позицию «Линейная».
При желании можно установить галочку около позиции «Показывать уравнение на диаграмме». После этого на диаграмме будет отображаться уравнение сглаживающей функции.

Также в нашем случае для сравнения различных вариантов аппроксимации важно установить галочку около пункта «Поместить на диаграмму величину достоверной аппроксимации (R^2)». Данный показатель может варьироваться от 0 до 1. Чем он выше, тем аппроксимация качественнее (достовернее). Считается, что при величине данного показателя 0,85 и выше сглаживание можно считать достоверным, а если показатель ниже, то – нет.

После того, как провели все вышеуказанные настройки. Жмем на кнопку «Закрыть», размещенную в нижней части окна.
Как видим, на графике линия тренда построена. При линейной аппроксимации она обозначается черной прямой полосой. Указанный вид сглаживания можно применять в наиболее простых случаях, когда данные изменяются довольно быстро и зависимость значения функции от аргумента очевидна.

Сглаживание, которое используется в данном случае, описывается следующей формулой:

y=ax+b

В конкретно нашем случае формула принимает такой вид:

y=-0,1156x+72,255

Величина достоверности аппроксимации у нас равна 0,9418, что является довольно приемлемым итогом, характеризующим сглаживание, как достоверное.

Способ 2: экспоненциальная аппроксимация

Теперь давайте рассмотрим экспоненциальный тип аппроксимации в Эксель.

Для того, чтобы изменить тип линии тренда, выделяем её кликом правой кнопки мыши и в раскрывшемся меню выбираем пункт «Формат линии тренда…».
После этого запускается уже знакомое нам окно формата. В блоке выбора типа аппроксимации устанавливаем переключатель в положение «Экспоненциальная». Остальные настройки оставим такими же, как и в первом случае. Щелкаем по кнопке «Закрыть».
После этого линия тренда будет построена на графике. Как видим, при использовании данного метода она имеет несколько изогнутую форму. При этом уровень достоверности равен 0,9592, что выше, чем при использовании линейной аппроксимации. Экспоненциальный метод лучше всего использовать в том случае, когда сначала значения быстро изменяются, а потом принимают сбалансированную форму.

Общий вид функции сглаживания при этом такой:

y=be^x

где e – это основание натурального логарифма.

В конкретно нашем случае формула приняла следующую форму:

y=6282,7*e^(-0,012*x)

Способ 3: логарифмическое сглаживание

Теперь настала очередь рассмотреть метод логарифмической аппроксимации.

Тем же способом, что и в предыдущий раз через контекстное меню запускаем окно формата линии тренда. Устанавливаем переключатель в позицию «Логарифмическая» и жмем на кнопку «Закрыть».
Происходит процедура построения линии тренда с логарифмической аппроксимацией. Как и в предыдущем случае, такой вариант лучше использовать тогда, когда изначально данные быстро изменяются, а потом принимают сбалансированный вид. Как видим, уровень достоверности равен 0,946. Это выше, чем при использовании линейного метода, но ниже, чем качество линии тренда при экспоненциальном сглаживании.

В общем виде формула сглаживания выглядит так:

y=a*ln(x)+b

где ln – это величина натурального логарифма. Отсюда и наименование метода.

В нашем случае формула принимает следующий вид:

y=-62,81ln(x)+404,96

Способ 4: полиномиальное сглаживание

Настал черед рассмотреть метод полиномиального сглаживания.

Переходим в окно формата линии тренда, как уже делали не раз. В блоке «Построение линии тренда» устанавливаем переключатель в позицию «Полиномиальная». Справа от данного пункта расположено поле «Степень». При выборе значения «Полиномиальная» оно становится активным. Здесь можно указать любое степенное значение от 2 (установлено по умолчанию) до 6. Данный показатель определяет число максимумов и минимумов функции. При установке полинома второй степени описывается только один максимум, а при установке полинома шестой степени может быть описано до пяти максимумов. Для начала оставим настройки по умолчанию, то есть, укажем вторую степень. Остальные настройки оставляем такими же, какими мы выставляли их в предыдущих способах. Жмем на кнопку «Закрыть».
Линия тренда с использованием данного метода построена. Как видим, она ещё более изогнута, чем при использовании экспоненциальной аппроксимации. Уровень достоверности выше, чем при любом из использованных ранее способов, и составляет 0,9724.

Данный метод наиболее успешно можно применять в том случае, если данные носят постоянно изменчивый характер. Функция, описывающая данный вид сглаживания, выглядит таким образом:

y=a1+a1*x+a2*x^2+…+an*x^n

В нашем случае формула приняла такой вид:

y=0,0015*x^2-1,7202*x+507,01
Теперь давайте изменим степень полиномов, чтобы увидеть, будет ли отличаться результат. Возвращаемся в окно формата. Тип аппроксимации оставляем полиномиальным, но напротив него в окне степени устанавливаем максимально возможное значение – 6.
Как видим, после этого наша линия тренда приняла форму ярко выраженной кривой, у которой число максимумов равно шести. Уровень достоверности повысился ещё больше, составив 0,9844.

Формула, которая описывает данный тип сглаживания, приняла следующий вид:

y=8E-08x^6-0,0003x^5+0,3725x^4-269,33x^3+109525x^2-2E+07x+2E+09

Способ 5: степенное сглаживание

В завершении рассмотрим метод степенной аппроксимации в Excel.

Перемещаемся в окно «Формат линии тренда». Устанавливаем переключатель вида сглаживания в позицию «Степенная». Показ уравнения и уровня достоверности, как всегда, оставляем включенными. Жмем на кнопку «Закрыть».
Программа формирует линию тренда. Как видим, в нашем случае она представляет собой линию с небольшим изгибом. Уровень достоверности равен 0,9618, что является довольно высоким показателем. Из всех вышеописанных способов уровень достоверности был выше только при использовании полиномиального метода.

Данный способ эффективно используется в случаях интенсивного изменения данных функции. Важно учесть, что этот вариант применим только при условии, что функция и аргумент не принимают отрицательных или нулевых значений.

Общая формула, описывающая данный метод имеет такой вид:

y=bx^n

В конкретно нашем случае она выглядит так:

y = 6E+18x^(-6,512)

Как видим, при использовании конкретных данных, которые мы применяли для примера, наибольший уровень достоверности показал метод полиномиальной аппроксимации с полиномом в шестой степени (0,9844), наименьший уровень достоверности у линейного метода (0,9418). Но это совсем не значит, что такая же тенденция будет при использовании других примеров. Нет, уровень эффективности у приведенных выше методов может значительно отличаться, в зависимости от конкретного вида функции, для которой будет строиться линия тренда. Поэтому, если для этой функции выбранный метод наиболее эффективен, то это совсем не означает, что он также будет оптимальным и в другой ситуации.

Если вы пока не можете сразу определить, основываясь на вышеприведенных рекомендациях, какой вид аппроксимации подойдет конкретно в вашем случае, то есть смысл попробовать все методы. После построения линии тренда и просмотра её уровня достоверности можно будет выбрать оптимальный вариант.

Мы рады, что смогли помочь Вам в решении проблемы.

Задайте свой вопрос в комментариях, подробно расписав суть проблемы. Наши специалисты постараются ответить максимально быстро.

Помогла ли вам эта статья?

Да Нет

Опубликовано 05 Янв 2014
Рубрика: Справочник Excel | 18 комментариев

(Обратите внимание на дополнительный раздел от 04.06.2017 в конце статьи.)

Учет и контроль! Те, кому за 40 должны хорошо помнить этот лозунг из эпохи построения социализма и коммунизма в нашей стране.

Но без хорошо налаженного учета невозможно эффективное функционирование ни страны, ни области, ни предприятия, ни домашнего хозяйства при любой общественно-экономической формации общества! Для составления прогнозов и планов деятельности и развития необходимы исходные данные. Где их брать? Только один достоверный источник – это ваши статистические учетные данные предыдущих периодов времени.

Учитывать результаты своей деятельности, собирать и записывать информацию, обрабатывать и анализировать данные, применять результаты анализа для принятия правильных решений в будущем должен, в моем понимании, каждый здравомыслящий человек. Это есть ничто иное, как накопление и рациональное использование своего жизненного опыта. Если не вести учет важных данных, то вы через определенный период времени их забудете и, начав заниматься этими вопросами вновь, вы опять наделаете те же ошибки, что делали, когда впервые этим занимались.

«Мы, помню, 5 лет назад изготавливали до 1000 штук таких изделий в месяц, а сейчас и 700 еле-еле собираем!». Открываем статистику и видим, что 5 лет назад и 500 штук не изготавливали…

«Во сколько обходится километр пробега твоего автомобиля с учетом всех затрат?» Открываем статистику – 6 руб./км. Поездка на работу – 107 рублей. Дешевле, чем на такси (180 рублей) более чем в полтора раза. А бывали времена, когда на такси было дешевле…

«Сколько времени требуется для изготовления металлоконструкций уголковой башни связи высотой 50 м?» Открываем статистику – и через 5 минут готов ответ…

«Сколько будет стоить ремонт комнаты в квартире?» Поднимаем старые записи, делаем поправку на инфляцию за прошедшие годы, учитываем, что в прошлый раз купили материалы на 10% дешевле рыночной цены и – ориентировочную стоимость мы уже знаем…

Ведя учет своей профессиональной деятельности, вы всегда будете готовы ответить на вопрос начальника: «Когда!!!???». Ведя учет домашнего хозяйства, легче спланировать расходы на крупные покупки, отдых и прочие расходы в будущем, приняв соответствующие меры по дополнительному заработку или по сокращению необязательных расходов сегодня.

В этой статье я на простом примере покажу, как можно обрабатывать собранные статистические данные в Excel для возможности дальнейшего использования при прогнозировании будущих периодов.

Производственный участок изготавливает строительные металлоконструкции из листового и профильного металлопроката. Участок работает стабильно, заказы однотипные, численность рабочих колеблется незначительно. Есть данные о выпуске продукции за предыдущие 12 месяцев и о количестве переработанного в эти периоды времени металлопроката по группам: листы, двутавры, швеллеры, уголки, трубы круглые, профили прямоугольного сечения, круглый прокат. После предварительного анализа исходных данных возникло предположение, что суммарный месячный выпуск металлоконструкций существенно зависит от количества уголков в заказах. Проверим это предположение.

Прежде всего, несколько слов об аппроксимации. Мы будем искать закон – аналитическую функцию, то есть функцию, заданную уравнением, которое лучше других описывает зависимость общего выпуска металлоконструкций от количества уголкового проката в выполненных заказах. Это и есть аппроксимация, а найденное уравнение называется аппроксимирующей функцией для исходной функции, заданной в виде таблицы.

1. Включаем Excel и помещаем на лист таблицу с данными статистики.

2. Далее строим и форматируем точечную диаграмму, в которой по оси X задаем значения аргумента – количество переработанных уголков в тоннах. По оси Y откладываем значения исходной функции – общий выпуск металлоконструкций в месяц, заданные таблицей.

О том, как построить подобную диаграмму, подробно рассказано в статье «Как строить графики в Excel?».

3. «Наводим» мышь на любую из точек на графике и щелчком правой кнопки вызываем контекстное меню (как говорит один мой хороший товарищ — работая в незнакомой программе, когда не знаешь, что делать, чаще щелкай правой кнопкой мыши…). В выпавшем меню выбираем «Добавить линию тренда…».

4. В появившемся окне «Линия тренда» на вкладке «Тип» выбираем «Линейная».

5. Далее на вкладке «Параметры» ставим 2 галочки и нажимаем «ОК».

6. На графике появилась прямая линия, аппроксимирующая нашу табличную зависимость.

Мы видим кроме самой линии уравнение этой линии и, главное, мы видим значение параметра R2 – величины достоверности аппроксимации! Чем ближе его значение к 1, тем наиболее точно выбранная функция аппроксимирует табличные данные!

7. Строим линии тренда, используя степенную, логарифмическую, экспоненциальную и полиномиальную аппроксимации по аналогии с тем, как мы строили линейную линию тренда.

Лучше всех из выбранных функций аппроксимирует наши данные полином второй степени, у него максимальный коэффициент достоверности R2.

Однако хочу вас предостеречь! Если вы возьмете полиномы более высоких степеней, то, возможно, получите еще лучшие результаты, но кривые будут иметь замысловатый вид…. Здесь важно понимать, что мы ищем функцию, которая имеет физический смысл. Что это означает? Это означает, что нам нужна аппроксимирующая функция, которая будет выдавать адекватные результаты не только внутри рассматриваемого диапазона значений X, но и за его пределами, то есть ответит на вопрос: «Какой будет выпуск металлоконструкций при количестве переработанных за месяц уголков меньше 45 и больше 168 тонн!» Поэтому я не рекомендую увлекаться полиномами высоких степеней, да и параболу (полином второй степени) выбирать осторожно!

Итак, нам необходимо выбрать функцию, которая не только хорошо интерполирует табличные данные в пределах диапазона значений X=45…168, но и допускает адекватную экстраполяцию за пределами этого диапазона. Я выбираю в данном случае логарифмическую функцию, хотя можно выбрать и линейную, как наиболее простую. В рассматриваемом примере при выборе линейной аппроксимации в excel ошибки будут больше, чем при выборе логарифмической, но не на много.

8. Удаляем все линии тренда с поля диаграммы, кроме логарифмической функции. Для этого щелкаем правой кнопкой мыши по ненужным линиям и в выпавшем контекстном меню выбираем «Очистить».

9. В завершении добавим к точкам табличных данных планки погрешностей. Для этого правой кнопкой мыши щелкаем на любой из точек на графике и в контекстном меню выбираем «Формат рядов данных…» и настраиваем данные на вкладке «Y-погрешности» так, как на рисунке ниже.

10. Затем щелкаем по любой из линий диапазонов погрешностей правой кнопкой мыши, выбираем в контекстном меню «Формат полос погрешностей…» и в окне «Формат планок погрешностей» на вкладке «Вид» настраиваем цвет и толщину линий.

Аналогичным образом форматируются любые другие объекты диаграммы в Excel!

Окончательный результат диаграммы представлен на следующем снимке экрана.

Итоги.

Результатом всех предыдущих действий стала полученная формула аппроксимирующей функции y=-172,01*ln (x)+1188,2. Зная ее, и количество уголков в месячном наборе работ, можно с высокой степенью вероятности (±4% — смотри планки погрешностей) спрогнозировать общий выпуск металлоконструкций за месяц! Например, если в плане на месяц 140 тонн уголков, то общий выпуск, скорее всего, при прочих равных составит 338±14 тонн.

Для повышения достоверности аппроксимации статистических данных должно быть много. Двенадцать пар значений – это маловато.

Из практики скажу, что хорошим результатом следует считать нахождение аппроксимирующей функции с коэффициентом достоверности R2>0,87. Отличный результат – при R2>0,94.

На практике бывает трудно выделить один самый главный определяющий фактор (в нашем примере – масса переработанных за месяц уголков), но если постараться, то в каждой конкретной задаче его всегда можно найти! Конечно, общий выпуск продукции за месяц реально зависит от сотни факторов, для учета которых необходимы существенные трудозатраты нормировщиков и других специалистов. Только результат все равно будет приблизительным! Так стоит ли нести затраты, если есть гораздо более дешевое математическое моделирование!

В этой статье я лишь прикоснулся к верхушке айсберга под названием сбор, обработка и практическое использование статистических данных. О том удалось, или нет, мне расшевелить ваш интерес к этой теме, надеюсь узнать из комментариев и рейтинга статьи в поисковиках.

Затронутый вопрос аппроксимации функции одной переменной имеет широкое практическое применение в разных сферах жизни. Но гораздо большее применение имеет решение задачи аппроксимации функции нескольких независимых переменных…. Об этом и не только читайте в следующих статьях на блоге.

Подписывайтесь на анонсы статей в окне, расположенном в конце каждой статьи или в окне вверху страницы.

Не забывайте подтверждать подписку кликом по ссылке в письме, которое придет к вам на указанную почту (может прийти в папку «Спам»)!!!

С интересом прочту Ваши комментарии, уважаемые читатели! Пишите!

P.S. (04.06.2017)

Высокоточная красивая замена табличных данных простым уравнением.

Вас не устраивают полученные точность аппроксимации (R2
Подробности Автор: Administrator Родительская категория: Заметки Категория: Компьютерная повседневность Создано: 28 января 2013 Обновлено: 15 мая 2014 Просмотров: 28651

Чтобы приступить к аппроксимации кривой ваших экспериментальных данных в Excel 2003:

1. Создайте диаграмму (график).

2. Выделите линию функции на графике и нажмите правую кнопку мыши, выберите «Добавить линию тренда»

3. Выберите тип аппроксимации во вкладке «Тип» в откурывшемся диалоговом окне «Линия тренда»

4. На вкладке «Параметры» — прогностические параметры, показывать уравнение на графике или нет

Аппроксимация (от лат. approximo — приближаюсь) — это замена одних математических объектов другими, в том или ином смысле близкими к исходным. Аппроксимация позволяет исследовать числовые характеристики и качественные свойства объекта, сводя задачу к изучению более простых или более удобных объектов (например, таких, характеристики которых легко вычисляются или свойства которых уже известны). В этой нашей статье мы постараемся подробно рассмотреть вопрос о том, как апроксимировать график в офисной программе Excel?

В MS Excel аппроксимация экспериментальных данных осуществляется путем построения их графика (x – отвлеченные величины) или точечного графика (x – имеет конкретные значения) с последующим подбором подходящей аппроксимирующей функции (линии тренда).

1. Создайте диаграмму (график).
2. Выделите линию функции на графике и нажмите правую кнопку мыши, выберите «Добавить линию тренда».
3. Выберите тип аппроксимации во вкладке «Тип» в откурывшемся диалоговом окне «Линия тренда».
4. На вкладке «Параметры» — прогностические параметры, показывать уравнение на графике или нет.

Решить задачу аппроксимации экспериментальных данных – значит построить уравнение регрессии. Задача аппроксимации возникает в случае необходимости аналитически, то есть в виде математической зависимости, описать реальные явления, наблюдения за которыми заданы в виде таблицы, содержащей значения показателя в разные моменты времени или при разных значениях независимого аргумента. Например,

— известны показатели прибыли (их можно обозначить Y) в зависимости от размера капиталовложений (X);

— известны объемы реализации фирмы (Y) за шесть недель ее работы. В этом случае, X – это последовательность недель.

Иногда говорят, что требуется построить эмпирическую модель. Эмпирической называется модель, построенная на основе реальных наблюдений. Если модель удается найти, можно сделать прогноз о поведении исследуемого явления и процесса в будущем и, возможно, выбрать оптимальное направление ее развития.

В общем случае задача аппроксимации экспериментальных данных имеет следующую постановку:

Пусть известны данные, полученные практическим путем (в ходе n экспериментов или наблюдений), которые можно представить парами чисел (хi; уi). Зависимость между ними отражает таблица:

X	х1	х2	х3	…	хn
Y	y1	y2	y3	…	yn

Имеется класс разнообразных функций F. Требуется найти аналитическое (т.е. математическое) выражение зависимости между этими показателями, то есть надо подобрать из множества функций F функцию f, такую что . которая наилучшим образом сглаживала бы экспериментальную зависимость между переменными и по возможности точно отражала общую тенденцию зависимости между X и Y, исключая погрешности измерения и случайные отклонения.

Выяснить вид функции можно либо из теоретических соображений, либо анализируя расположение точек (хi; уi) на координатной плоскости.

Графически решить задачу аппроксимации означает, провести такую кривую , точки которой (хi; ŷi) находились бы как можно ближе к исходным точкам (хi; уi), отображающим экспериментальные данные.

Для решения задачи аппроксимации используют метод наименьших квадратов.

При этом функция считается наилучшим приближением к , если для нее сумма квадратов отклонений «теоретических» значений , найденных по эмпирической формуле, от соответствующих опытных значений , имеет наименьшее значение по сравнению с другими функциями, из числа которых выбирается искомое приближение.

Математическая запись метода наименьших квадратов имеет вид:

(1)

где n — количество наблюдений показателей.

Таким образом, задача аппроксимации распадается на две части.

Сначала устанавливают вид зависимости и, соответственно, вид эмпирической формулы, то есть решают, является ли она линейной, квадратичной, логарифмической или какой-либо другой. Если нет каких-либо теоретических соображений для подбора вида формулы, обычно выбирают функциональную зависимость из числа наиболее простых, сравнивая их графики с графиком заданной функции.

После этого определяются численные значения неизвестных параметров выбранной эмпирической формулы, для которых приближение к заданной функции оказывается наилучшим.

Простейшим видом эмпирической модели с двумя параметрами, используемой для аппроксимации результатов экспериментов, является линейная регрессия, описываемая линейной функцией:

где а, b — искомые параметры.

Для модели линейной регрессии метод наименьших квадратов (1) запишется :

(2)

Для решения (2) относительно а и b приравнивают к нулю частные производные:

В итоге для нахождения a и b надо решить систему линейных алгебраических уравнений вида:

(3)

Реализовать метод наименьших квадратов в случае линейной регрессии в Excel можно различными способами.

1 способ. Построить систему линейных алгебраических уравнений, подставив в (3) все известные значения, и решить ее, например, матричным методом (см. зад. 4).

Рис. 25

В формульном виде элемент расчетной таблицы приведен на рис. 26.

Рис.26

2 способ. Решить в Excel задачу оптимизации (2), применив для этого Поиск решения (см. зад. 5).

Рис.27

Замечание 1. Следует обратить внимание, что для целевой функции S удобно применить встроенную математическую функцию СУММКВРАЗН(массив1;массив2), в результате которой как раз и вычисляется сумма квадратов разностей двух массивов. В нашем случае следует в качестве массива1 указать диапазон исходных значений , а в качестве массива2 – «теоретические» значения , рассчитанные по формуле , где a и b – это адреса ячеек с искомыми значениями.

Замечание 2. В диалоговом окне команды Поиск решения следует задать целевую ячейку, направление цели – на минимум и изменяемые ячейки (рис. 28). Данная задача ограничений не содержит.

Рис.28

Замечание3. В качестве эмпирических моделей с двумя параметрами могут использоваться и нелинейные модели вида:

Описанный способ решения метода наименьших квадратов применим и для нелинейных зависимостей.

3 способ. Для нахождения значений параметров a и b в случае линейной регрессии можно использовать следующие встроенные в Excel статистические функции:

НАКЛОН(известные_значения_У; известные_значения_Х)

ОТРЕЗОК(известные_значения_У; известные_значения_Х)

ЛИНЕЙН (известные_значения_У; известные_значения_Х)

Причем, функция НАКЛОН ( ) возвращает значение параметра а, функция ОТРЕЗОК( ) возвращает значение параметра b. Функция ЛИНЕЙН( ) возвращает одновременно оба параметра линейной зависимости, так как является функцией массива. Поэтому для ввода функции ЛИНЕЙН( ) в таблицу надо соблюдать следующие правила:

· выделить две рядом стоящие ячейки

· ввести формулу

· по окончании нажать одновременно комбинацию клавиш Ctrl+ Shift+Enter.

В результате в левой ячейке получится значение параметра а, а в правой – значение параметра b.

Для решения задачи аппроксимации графическим способом в Excel надо построить по исходным данным график, например, точечную диаграмму со значениями, соединенными сглаживающими линиями (см.зад.1). На эту диаграмму Excel может нанести Линию тренда. Линию тренда можно добавить к любому ряду данных, использующему следующие типы диаграмм: диаграммы с областями, графики, гистограммы, линейчатые или точечные диаграммы.

При создании линии тренда в Excel на основе данных диаграммы применяется та или иная аппроксимация. Excel позволяет выбрать один из пяти аппроксимирующих линий или вычислить линию, показывающую скользящее среднее.

Кроме того, Excel предоставляет возможность выбирать значения пересечения линии тренда с осью Y, а также добавлять к диаграмме уравнение аппроксимации и величину достоверности аппроксимации (R2). Также, можно определять будущие и прошлые значения данных, исходя из линии тренда и связанного с ней уравнения аппроксимации.

Чтобы добавить линию тренда к ряду данных надо:

1. Активизировать щелчком мыши диаграмму.

2. Выполнить команду Диаграмма, Добавить линию тренда или переместить указатель на ряд данных, щелкнуть правой кнопкой мыши, а затем в контекстном меню выбрать команду Добавить линию тренда. В появившемся окне Линия тренда раскрыть вкладку Тип (рис. 29)

3. В списке Построен на ряде – выделить ряд данных, к которому нужно добавить линию тренда (Рис.29).

4. В группе Построение линии тренда (аппроксимация и сглаживание) выбрать один из шести типов аппроксимации (сглаживания). – линейная, логарифмическая, полиномиальная, степенная, экспоненциальная, скользящее среднее (Рис.29)

Рис.29

5. Чтобы установить параметры линии тренда надо раскрыть вкладку Параметры диалогового окна Линия тренда(рис. 30)

Рис.30

Показывать уравнение на диаграмме – осуществляет вывод уравнения аппроксимации на диаграмму в виде текстового поля.

Поместить на диаграмму величину достоверности аппроксимации R2– осуществляет вывод на диаграмму достоверности аппроксимации в виде текста.

6. По окончании нажимают экранную кнопку ОК.

Пример результирующей диаграммы приведен на рисунке 31.

Рис.31

Источник

Электронные таблицы EXCEL можно использовать при
изучении многих разделов физики, математики и
других предметов. Одной из данных тем является
математическая тема: “Анализ элементарных
функций”. Данная работа посвящена использованию
электронных таблиц EXCEL в анализе элементарных
функций.

Рис. 1 (см. Приложение 2)

На рис.1 представлена некоторая функция,
заданная с помощью таблицы, построение которой
приведено в Приложении 1.

Особенность анализа функций с помощью
электронных таблиц заключается в том, что анализ
проводится на дискретной информации.
Действительно, количество значений исследуемой
функции конечно и дано (как правило) с некоторым
постоянным шагом по аргументу.

При анализе исходной функции необходимо решить
следующие задачи:

определение максимума (минимума) данной функции
на заданном интервале,
определение возрастания и/или убывания функции
на заданном интервале,
определение четности заданной функции,
определение периодичности заданной функции,
определение значения первой производной данной
функции и наличия экстремумов.

Для решения этих задач потребуется построить
таблицы ВводаИсходнойИнформации, таблицы
ВыводаРезультатов, Расчетной таблицы для
обработки информации и дополнительно построим
Вспомогательную таблицу. Таблицу
ВводаИсходнойИнформации и основу Расчетной
таблицу построены при введении значений
исследуемой функции в Приложении 1 и показанной
на рис.1. Построим решения задач анализа.

Приложение 1

Задача 1.
Для заданной функции на заданном интервале
аргумента определить ее минимальное и
максимальное значения.

Решение.
Для решения этой задачи построим таблицу
ВыводаРезультатов в виде

D E

1 комментарии Значения

2 Макс f(X) <формула>

3 Мин f(X) <формула>

В мастере функций Excel имеются функции МАКС(…) и
МИН(…), позволяющие решить нашу задачу. Для этого
необходимо в ячейки Е2 и Е3 ввести соответственно
формулы:

E2 => [=МАКС(с10:с50)]
и
E3 => [=МИН(с10:с50)]

Примечание. Если “протяжка” велась до
другой строки, то в интервале ссылок указать
соответствующий номер строки.

ЗАДАЧА РЕШЕНА.

Задача 2.
Определение возрастания и/или убывания функции
на заданном интервале.

Решение.
Для решения данной задачи в расчетной таблице
необходимо построить столбец D, в котором знак
будет указывать на возрастание или убывание
функции в данной точке. Для этого в ячейку D11
введем формулу

D11 => [=ЕСЛИ(a11<>””;ЗНАК(D11-D10);””)]
и “протянем” ее до строки №50.

И там, где знак положительный, функция
возрастает, а там, где знак отрицательный,
функция – убывает.

Далее построим вспомогательную таблицу, в
которой определим количество признаков
возрастания и убывания функции

F G

1 КОММЕНТАРИИ ЗНАЧЕНИЯ

2 Признак возрастания <формула>

3 Признак убывания <формула>

Для этого в ячейки g2 и g3 соответственно вводим
формулы:

G2 => [=СуммЕсли(d11:d50;”>0”)]
G3 => [=СуммЕсли(d11:d50;”<0”)]

Таблицу ВыводаРезультатов дополним строкой

D E

1 комментарии значения

2 Макс f(X) =МАКС(с10:с50)

3 Мин f(X) =МИН(с10:с50)

4 Возрастание/Убывание <формула>

И для определения характера изменения заданной
функции остается ввести в ячейку Е4 формулу:

E4 => [=ЕСЛИ(g2>0; ЕСЛИ(g3<0;”и то и
другое”;”возрастает”);”убывает”)

ЗАДАЧА РЕШЕНА.

Задача 3.
Определение четности данной.

Решение.
Для решения данной задачи необходимо знание
аналитического представления исходной функции,
так как признаком четности функции является
равенство f(X) = f(-X).

Для решения данной задачи в расчетной таблице
построим дополнительный столбец. В ячейку Е10
введем формулу

E10 => [=f(b10) – f(-b10)]
и “протянуть” ее до строки №50.

Таблицу ВыводаРезультатов дополним строкой

D E

1 комментарии значения

2 Макс f(X) =МАКС(с10:с50)

3 Мин f(X) =МИН(с10:с50)

4 Возрастание/Убывание [=ЕСЛИ(g2>0; ЕСЛИ(g3<0;”и то и
другое”;”возрастает”);”убывает”)

5 четность <формула>

В ячейку Е4 таблицы ВыводаРезультатов вводим
формулу.

E4 => [ЕСЛИ(ABS(СУММ(E10:E50))<0,000001; “ЧЕТНАЯ”;
“НЕЧЕТНАЯ”)

ЗАДАЧА РЕШЕНА.

Задача 4.
Определить является ли введенный период
периодом заданной функции.

Решение.
Для решения данной задачи необходимо знание
аналитического представления исходной функции,
так как признаком периодичности функции
является равенство f(Х) = f(X+<период>).

Для данной задачи добавим в таблице
ВводаИсходнойИнформации строку №6, в которой
введем численное значение предполагаемого
периода.

А В

1 КОММЕНТАРИИ ЗНАЧЕНИЯ

2 Xn <значение>

3 Xk <значение>

4 Shag <значение>

5 N <формула>

6 период <значение>

В ячейку В6 вводится число – предполагаемый
период заданной функции.

Далее для решения данной задачи построим
дополнительный столбец в расчетной таблице, для
этого в ячейку F11 введем формулу

F10 => [=ЕСЛИ(a10<>””;f(b10)-f(b10+$b$6);””)]

и “потягиваем” эту формулу до строки №50.

В таблице ВыводаРезультатов добавим строчку.

D E

1 комментарии значения

2 Макс f(X) =МАКС(с10:с50)

3 Мин f(X) =МИН(с10:с50)

4 четность =ЕСЛИ(g2>0; ЕСЛИ(g3<0;”и то и
другое”;”возрастает”);”убывает”)

5 период <формула>

В ячейке Е5 необходимо ввести формулу

Е5 => [=ЕСЛИ(СУММ(f10:f50)<0,01;”период”;”не
период”)]

Если данное значение предполагаемого периода
не подходит, то его можно изменить.

ЗАДАЧА РЕШЕНА.

Задача 5.
Для заданной функции определить:

значения первой производной данной функции,
наличия и количество экстремумов.

Решение.
Для решения первой части задачи, то есть
определения первой производной воспользуемся ее
разностным определение.

Построим столбец. Для этого в ячейку G11 вводим
формулу:

G11 => [= ЕСЛИ(a11<>””; ABS((c11-c10)/(b11-b10));””)]

и “протягиваем ее до строки с №50.

В результате получаем разностные приближенные
значения первой производной заданной функции в
заданных точках.

Для решения второй части задачи, то есть
определения наличия и количества экстремумов на
заданной функции в таблицу ВыводаРезультатов
дополнить строкой.

D E

1 комментарии значения

2 Макс f(X) =МАКС(с10:с50)

3 Мин f(X) =МИН(с10:с50)

4 четность =ЕСЛИ(g2>0; ЕСЛИ(g3<0;”и то и
другое”;”возрастает”);”убывает”)

5 период [=ЕСЛИ(СУММ(f10:f50)<0,01;”период”;
”не период”)]

6 Количество Экстремумов. <формула>

В ячейке Е6 необходимо ввести формулу

E6 => [=СчетЕсли(g11:g50;”<0,05”)]

ЗАДАЧА РЕШЕНА.

Рис 2, см. Приложение 3

На рис.2 приведена построенная таблица
решения задач.

Предложенные в данной работе задачи можно
использовать на интегрированных уроках
информатика-математика, на уроках информатики
при изучении электронных таблиц, в частности, в
теме: “Мастер функций”.

Источник

Метод аппроксимации в Microsoft Excel

Выполнение аппроксимации

Но она может быть построена с применением одного из пяти видов аппроксимации:

Линейной;
Экспоненциальной;
Логарифмической;
Полиномиальной;
Степенной.

Рассмотрим каждый из вариантов более подробно в отдельности.

Способ 1: линейное сглаживание

«Себестоимость единицы продукции»

«Прибыль»

«Вставка»

«Точечная»

«Точечная с гладкими кривыми и маркерами»

Существует ещё один вариант её добавления. В дополнительной группе вкладок на ленте «Работа с диаграммами» перемещаемся во вкладку «Макет». Далее в блоке инструментов «Анализ» щелкаем по кнопке «Линия тренда». Открывается список. Так как нам нужно применить линейную аппроксимацию, то из представленных позиций выбираем «Линейное приближение».

Если же вы выбрали все-таки первый вариант действий с добавлением через контекстное меню, то откроется окно формата.

В блоке параметров «Построение линии тренда (аппроксимация и сглаживание)» устанавливаем переключатель в позицию «Линейная».
При желании можно установить галочку около позиции «Показывать уравнение на диаграмме». После этого на диаграмме будет отображаться уравнение сглаживающей функции.

Также в нашем случае для сравнения различных вариантов аппроксимации важно установить галочку около пункта «Поместить на диаграмму величину достоверной аппроксимации (R^2)». Данный показатель может варьироваться от 0 до 1. Чем он выше, тем аппроксимация качественнее (достовернее). Считается, что при величине данного показателя 0,85 и выше сглаживание можно считать достоверным, а если показатель ниже, то – нет.

После того, как провели все вышеуказанные настройки. Жмем на кнопку «Закрыть», размещенную в нижней части окна.

Как видим, на графике линия тренда построена. При линейной аппроксимации она обозначается черной прямой полосой. Указанный вид сглаживания можно применять в наиболее простых случаях, когда данные изменяются довольно быстро и зависимость значения функции от аргумента очевидна.

Сглаживание, которое используется в данном случае, описывается следующей формулой:

В конкретно нашем случае формула принимает такой вид:

Величина достоверности аппроксимации у нас равна 0,9418, что является довольно приемлемым итогом, характеризующим сглаживание, как достоверное.

Способ 2: экспоненциальная аппроксимация

Теперь давайте рассмотрим экспоненциальный тип аппроксимации в Эксель.

«Формат линии тренда…»

После этого запускается уже знакомое нам окно формата. В блоке выбора типа аппроксимации устанавливаем переключатель в положение «Экспоненциальная». Остальные настройки оставим такими же, как и в первом случае. Щелкаем по кнопке «Закрыть».

Общий вид функции сглаживания при этом такой:

где e – это основание натурального логарифма.

В конкретно нашем случае формула приняла следующую форму:

Способ 3: логарифмическое сглаживание

Теперь настала очередь рассмотреть метод логарифмической аппроксимации.

«Логарифмическая»

«Закрыть»

Происходит процедура построения линии тренда с логарифмической аппроксимацией. Как и в предыдущем случае, такой вариант лучше использовать тогда, когда изначально данные быстро изменяются, а потом принимают сбалансированный вид. Как видим, уровень достоверности равен 0,946. Это выше, чем при использовании линейного метода, но ниже, чем качество линии тренда при экспоненциальном сглаживании.

В общем виде формула сглаживания выглядит так:

где ln – это величина натурального логарифма. Отсюда и наименование метода.

В нашем случае формула принимает следующий вид:

Способ 4: полиномиальное сглаживание

Настал черед рассмотреть метод полиномиального сглаживания.

«Построение линии тренда»

«Полиномиальная»

«Степень»

«Полиномиальная»

«Закрыть»

Линия тренда с использованием данного метода построена. Как видим, она ещё более изогнута, чем при использовании экспоненциальной аппроксимации. Уровень достоверности выше, чем при любом из использованных ранее способов, и составляет 0,9724.

Данный метод наиболее успешно можно применять в том случае, если данные носят постоянно изменчивый характер. Функция, описывающая данный вид сглаживания, выглядит таким образом:

В нашем случае формула приняла такой вид:

y=0,0015*x^2-1,7202*x+507,01
Теперь давайте изменим степень полиномов, чтобы увидеть, будет ли отличаться результат. Возвращаемся в окно формата. Тип аппроксимации оставляем полиномиальным, но напротив него в окне степени устанавливаем максимально возможное значение – 6.

Как видим, после этого наша линия тренда приняла форму ярко выраженной кривой, у которой число максимумов равно шести. Уровень достоверности повысился ещё больше, составив 0,9844.

Формула, которая описывает данный тип сглаживания, приняла следующий вид:

Способ 5: степенное сглаживание

В завершении рассмотрим метод степенной аппроксимации в Excel.

«Формат линии тренда»

«Степенная»

«Закрыть»

Программа формирует линию тренда. Как видим, в нашем случае она представляет собой линию с небольшим изгибом. Уровень достоверности равен 0,9618, что является довольно высоким показателем. Из всех вышеописанных способов уровень достоверности был выше только при использовании полиномиального метода.

Общая формула, описывающая данный метод имеет такой вид:

В конкретно нашем случае она выглядит так:

Как видим, при использовании конкретных данных, которые мы применяли для примера, наибольший уровень достоверности показал метод полиномиальной аппроксимации с полиномом в шестой степени (0,9844), наименьший уровень достоверности у линейного метода (0,9418). Но это совсем не значит, что такая же тенденция будет при использовании других примеров. Нет, уровень эффективности у приведенных выше методов может значительно отличаться, в зависимости от конкретного вида функции, для которой будет строиться линия тренда. Поэтому, если для этой функции выбранный метод наиболее эффективен, то это совсем не означает, что он также будет оптимальным и в другой ситуации.

Помимо этой статьи, на сайте еще 12701 инструкций.
Добавьте сайт Lumpics.ru в закладки (CTRL+D) и мы точно еще пригодимся вам.

Отблагодарите автора, поделитесь статьей в социальных сетях.

Аппроксимация в Excel

(Обратите внимание на дополнительный раздел от 04.06.2017 в конце статьи.)

Ведя учет своей профессиональной деятельности, вы всегда будете готовы ответить на вопрос начальника: «Когда. ». Ведя учет домашнего хозяйства, легче спланировать расходы на крупные покупки, отдых и прочие расходы в будущем, приняв соответствующие меры по дополнительному заработку или по сокращению необязательных расходов сегодня.

Аппроксимация в Excel статистических данных аналитической функцией.

1. Включаем Excel и помещаем на лист таблицу с данными статистики.

О том, как построить подобную диаграмму, подробно рассказано в статье «Как строить графики в Excel?».

4. В появившемся окне «Линия тренда» на вкладке «Тип» выбираем «Линейная».

5. Далее на вкладке «Параметры» ставим 2 галочки и нажимаем «ОК».

6. На графике появилась прямая линия, аппроксимирующая нашу табличную зависимость.

Мы видим кроме самой линии уравнение этой линии и, главное, мы видим значение параметра R 2 – величины достоверности аппроксимации! Чем ближе его значение к 1, тем наиболее точно выбранная функция аппроксимирует табличные данные!

Аналогичным образом форматируются любые другие объекты диаграммы в Excel!

Окончательный результат диаграммы представлен на следующем снимке экрана.

Итоги.

Из практики скажу, что хорошим результатом следует считать нахождение аппроксимирующей функции с коэффициентом достоверности R 2 >0,87. Отличный результат – при R 2 >0,94.

Подписывайтесь на анонсы статей в окне, расположенном в конце каждой статьи или в окне вверху страницы.

Не забывайте подтверждать подписку кликом по ссылке в письме, которое придет к вам на указанную почту (может прийти в папку «Спам»).

С интересом прочту Ваши комментарии, уважаемые читатели! Пишите!

P.S. (04.06.2017)

Высокоточная красивая замена табличных данных простым уравнением.

Вас не устраивают полученные точность аппроксимации (R 2 2 =0,9963.

Функция ЛГРФПРИБЛ для аппроксимации данных таблиц в Excel

Функция ЛГРФПРИБЛ в Excel предназначена для определения значений, на основе которых может быть построена экспоненциальная кривая, аппроксимирующая имеющиеся числовые данные, и возвращает массив значений. Для корректной работы рассматриваемой функции ее следует вводить как формулу массива.

Методы аппроксимации табличных данных в Excel

Функция ЛГРФПРИБЛ возвращает данные, необходимые для построения кривой, описываемой следующим уравнением:

Если имеется две и более переменных, это уравнение переписывается следующим образом:

Возвращаемые рассматриваемой функцией данные представляют собой следующий массив:

То есть, имеем массив оснований, возводимых в степени (известные значения переменных x), и коэффициент b.

Пример 1. В таблице приведены данные, характеризующие динамику курса доллара на протяжении 10 лет (с 2006 по 2016 год). Необходимо спрогнозировать курс доллара на 2019 год на основании имеющихся данных.

Вид таблицы данных:

Для расчета тренда (коэффициент, используемый для предсказания последующих значений курса) используем функцию:

B2:B12 – известные данные зависимой переменной (значения курса);
A2:A12 – известные данные независимой переменной (года).

Для предсказания курса на 2019 год используем формулу:

Как видно, полученное значение имеет небольшую степень достоверности. Использование данного типа аппроксимации для предсказания курса валют нерационально.

Прогнозирование финансовых результатов методом аппроксимации в Excel

Пример 2. В таблице имеются данные о зарплатах за прошедший год (помесячно). Определить оптимальный способ предсказания размеров зарплат для последующих периодов.

Вид таблицы данных:

Определим коэффициенты достоверности аппроксимации для линейной и экспоненциальной функций с помощью следующих функций (вводить как формулы массива CTRL+SHIFT+Enter):

Поскольку обе функции возвращают результат в виде массива данных, в котором в третьей строке первого столбца содержится искомое значение R^2, используем функцию ИНДЕКС для возврата желаемого результата.

Чем ближе значение R^2 к 1, тем выше точность аппроксимации. Как видно, наибольшую точность обеспечивает экспоненциальная функция. Однако разница не является существенной, поэтому использование функции ЛИНЕЙН является допустимым в данном случае.

Правила метода аппроксимации по функции ЛГРФПРИБЛ в Excel

Функция имеет следующую синтаксическую запись:

=ЛГРФПРИБЛ( известные_значения_y; [известные_значения_x];[конст];[статистика])

известные_значения_y – обязательный, принимает ссылку на диапазон ячеек или массив данных — числовые значения, которые характеризуют состояние зависимой переменной y из указанного выше уравнения;
[известные_значения_x] – необязательный, принимает ссылку на диапазон ячеек или массив чисел, которые являются уже известными значениями независимой переменной x. Если явно не указан, по умолчанию принимается массив значений <1;2;…N>, где N – количество элементов в массиве, характеризующем известные_значения_y ;
[конст] – необязательный, принимает данные логического типа, интерпретируемые следующим образом: ИСТИНА или явно не указан – функция вычисляет значение коэффициента b из приведенного выше уравнения, ЛОЖЬ – значение данного коэффициента принимается равным 1;
[статистика] – необязательный, принимает логические значения ИСТИНА (функция возвращает дополнительные данные на основе проведенного регрессионного анализа) или ЛОЖЬ (значение по умолчанию) – функция возвращает только значения коэффициентов m и b.

Точность вычислений рассматриваемой функцией зависит от степени близости графика, построенного на основе имеющихся значений, к экспоненциальной кривой.
В качестве первого или второго аргументов могут быть введены константы массивов, при этом необходимо соблюдать требования к размерностям.
Если аргумент известные_значения_y указан в виде ссылки на диапазон ячеек, формирующих строку или столбец, каждая строка или столбец соответственно будут интерпретированы как отдельная переменная.
Если данная функция используется для расчетов с указанием только одной переменной x, первый и второй аргументы могут быть указаны в виде ссылок на диапазоны любой формы. Если по условию имеются две и более переменных x, первый и второй аргументы должны быть указаны в виде векторов данных. Размеры массивов должны совпадать в любом случае.
Если требуется определить будущие значения переменных (предсказать), можно использовать функцию РОСТ.

источники:

http://al-vo.ru/spravochnik-excel/approksimaciya-v-excel.html

http://exceltable.com/funkcii-excel/approksimaciya-dannyh-lgrfpribl

Источник

	D	E
1	комментарии	Значения
2	Макс f(X)	<формула>
3	Мин f(X)	<формула>

	F	G
1	КОММЕНТАРИИ	ЗНАЧЕНИЯ
2	Признак возрастания	<формула>
3	Признак убывания	<формула>

	А	В
1	КОММЕНТАРИИ	ЗНАЧЕНИЯ
2	Xn	<значение>
3	Xk	<значение>
4	Shag	<значение>
5	N	<формула>
6	период	<значение>